這兩篇文章都有引薦“bootstrap”方法：

中介和調節(jié)效應自助法檢驗, 非正態(tài)截面數(shù)據(jù)

10種常用的的數(shù)據(jù)分析思路, 計量學者必備

在統(tǒng)計學中，自助法（Bootstrap Method，Bootstrapping或自助抽樣法）是一種從給定訓練集中有放回的均勻抽樣，也就是說，每當選中一個樣本，它等可能地被再次選中并被再次添加到訓練集中。自助法由Bradley Efron于1979年在《Annals of Statistics》上發(fā)表。當樣本來自總體，能以正態(tài)分布來描述，其抽樣分布(Sampling Distribution)為正態(tài)分布(The Normal Distribution)；但當樣本來自的總體無法以正態(tài)分布來描述，則以漸進分析法、自助法等來分析。采用隨機可置換抽樣(random sampling with replacement)。對于小數(shù)據(jù)集，自助法效果很好。

最常用的一種Bootstrap自助法，假設給定的數(shù)據(jù)集包含d個樣本。該數(shù)據(jù)集有放回地抽樣m次，產生m個樣本的訓練集。這樣原數(shù)據(jù)樣本中的某些樣本很可能在該樣本集中出現(xiàn)多次。沒有進入該訓練集的樣本最終形成檢驗集（測試集）。 顯然每個樣本被選中的概率是1/m，因此未被選中的概率就是(1-1/m)，這樣一個樣本在訓練集中沒出現(xiàn)的概率就是m次都未被選中的概率，即(1-1/m)^m。當m趨于無窮大時，這一概率就將趨近于e^-1=0.368，所以留在訓練集中的樣本大概就占原來數(shù)據(jù)集的63.2%。

例如：人工樣本為1，2，3；只有三個樣本，則可以從隨機變量X，分布為P(X=k)=1/3, k=1,2,3; 這樣的經驗分布中用計算機根據(jù)上述分布自動產生樣本，如產生5個樣本：1 2 3 2 1；也可以是：3 3 2 1 1。

自助法在數(shù)據(jù)集較小、難以有效劃分訓練集和測試集時很有用；此外，自助法能從初始數(shù)據(jù)集中產生多個不同的訓練集，這對集成學習等方法有很大的好處。然而，自助法產生的數(shù)據(jù)集改變了初始數(shù)據(jù)集的分布，這會引入估計偏差。因此，在初始數(shù)據(jù)量足夠時，留出法和交叉驗證法更常用一些。

下面，咱們通過一列slides來看看bootstrap方法。如果不懂這些具體運算，對這種方法有大致的印象也對今后的研究工作有很大的幫助。

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